Pertanyaan :
1. Jika 2 vektor v = (2a, 3a, -1) dan w = (4, a, 3) saling tegak lurus maka ada dua nilai a yang memenuhi, jumlah kedua nilai a tersebut adalah
2. Titik A (2, 3, 4) dan C (x, y, z) berada pada suatu garis jika vektor AB : vektor BC = 1 : 3, maka x + y + z adalah
3. Persamaan lingkaran yang menyinggung garis y = [tex]-\frac{3}{4} (x - 16)[/tex] pada titik (4,1) dan berjari - jari 5 adalah
Nomor 1
Jika 2 vektor [tex]\vec{v}[/tex] = (2a, 3a, -1) dan [tex]\vec{w}[/tex] = (4, a, 3) saling tegak lurus, maka ada dua nilai [tex]a[/tex] yang memenuhi. Jumlah kedua nilai [tex]a[/tex] tersebut adalah –8/3.
Nomor 2
Titik [tex]A(2, 3, 4)[/tex], [tex]B(3, -1, 2)[/tex], dan [tex]C (x, y, z)[/tex] berada pada suatu garis. Jika vektor [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] : vektor [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] = 1 : 3, maka [tex]x + y + z[/tex] adalah –11.
Nomor 3
Terdapat dua alternatif persamaan lingkaran yang menyinggung garis y = –¼(3x–16) pada titik (4,1) dan berjari-jari 5, yaitu
- (x–1)² + (y+3)² = 5² atau
- (x–7)² + (y–5)² = 5².
Untuk soal nomor 3 ini, terdapat ilustrasi pada gambar.
Catatan koreksi soal:
- Penambahan data koordinat [tex]B(3, 1, -2)[/tex] pada soal nomor 2.
- Koreksi persamaan garis singgung pada soal nomor 3.
_________________
Pembahasan
Nomor 1: Vektor
Jika [tex]\vec{v}\perp\vec{w}[/tex], maka hasil perkalian dot antara keduanya sama dengan 0.
[tex]\begin{aligned}(\vec{v}&\perp\vec{w})\\\Rightarrow 0&=\vec{v}\cdot\vec{w}\\&=(2a, 3a, -1)\cdot(4, a, 3)\\ 0&=8a+3a^2-3\\\Rightarrow 0&=3a^2+8a-3\\\end{aligned}[/tex]
Kita memperoleh persamaan kuadrat yang memiliki 2 akar, atau 2 nilai [tex]a[/tex] yang memenuhi. Kita tidak perlu mencari akar-akar tersebut. Jika [tex]a_1[/tex] dan [tex]a_2[/tex] adalah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut, dengan [tex]A=3[/tex], [tex]B=8[/tex], dan [tex]C=-3[/tex], maka jumlah akar-akarnya dinyatakan oleh:
[tex]\begin{aligned}a_1+a_2&=-\frac{B}{A}=\boxed{\,-\bf\frac{8}{3}\,}\end{aligned}[/tex]
Jika kita selesaikan dengan mencari akar-akarnya, kita akan memperoleh a = 1/3 atau a = –3, yang jumlahnya adalah –8/3.
[tex]\blacksquare[/tex]
Nomor 2: Vektor
Titik [tex]A(2, 3, 4)[/tex], [tex]B(3, -1, 2)[/tex] dan [tex]C (x, y, z)[/tex] berada pada suatu garis, dengan perbandingan [tex]\overrightarrow{AB} : \overrightarrow{BC} = 1 : 3[/tex].
Maka:
[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\\begin{pmatrix}x-2\\y-3\\z-4\end{pmatrix}&=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AB}\\&=4\begin{pmatrix}3-2\\-1-3\\2-4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\-4\\-2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x-2\\y-3\\z-4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}4\\-16\\-8\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]
Tanpa menghitung nilai x, y, dan z, dapat diperoleh:
[tex]\begin{aligned}x-2&=4\\y-3&=-16\\z-4&=-8\\\textsf{--------}&\textsf{-----------}\:+\\x+y+z-9&=-20\\\therefore x+y+z&=\boxed{\,\bf{-}11\,}\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
Nomor 3: Persamaan Lingkaran
Dengan jari-jari 5 satuan dan pusat [tex]P(a, b)[/tex], persamaan lingkarannya adalah:
[tex]L:(x-a)^2+(y-b)^2=5^2[/tex]
Dari persamaan garis singgung y = –¼(3x–16) yang menyinggung lingkaran [tex]L[/tex] di titik [tex](4,1)[/tex], kita dapat mencari sebuah garis lain, misalkan disebut garis [tex]g[/tex], yang tegak lurus dengan garis singgung. Garis [tex]g[/tex] pasti melalui titik [tex](4,1)[/tex] dan titik pusat lingkaran [tex]P(a, b)[/tex].
Garis [tex]g[/tex] memiliki gradien (–1)/(–¼×3) = 4/3.
Gradien sebuah garis lurus merupakan perbandingan antara selisih ordinat dengan selisih absis dari dua titik yang terletak pada garis lurus tersebut. Jadi, dapat diambil:
⇒ Δy = 4, Δx = 3
[tex]\begin{aligned}\bullet\ &\Delta x=\left|x_1-a\right|=3\\&(x_1=4)\\&\Rightarrow |4-a|=3\\&\Rightarrow a_1=1\,,\ a_2=7\\\bullet\ &\Delta y=\left|y_1-b\right|=4\\&(y_1=1)\\&\Rightarrow |1-b|=4\\&\Rightarrow b_1=-3\,,\ b_2=5\\\end{aligned}[/tex]
Kita memperoleh 2 alternatif titik pusat lingkaran L, yaitu [tex]P_1(\bf1, -3)[/tex] dan [tex]P_2(\bf7, 5)[/tex].
Cara lainnya
Dengan vektor, kita juga dapat mencari titik [tex]P(a, b)[/tex].
Karena gradien garis [tex]g[/tex] adalah 4/3, jika titik singgungnya adalah [tex]Q(4,1)[/tex], maka vektor yang terbentuk antara titik pusat [tex]P(a, b)[/tex] dengan titik singgung tersebut dapat dinyatakan oleh:
[tex]\overrightarrow{P_1Q}=\overrightarrow{QP_2}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}[/tex]
sehingga:
[tex]\begin{aligned}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\overrightarrow{P_1Q}=\vec{q}-\vec{p_1}\\\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}4-a\\1-b\end{pmatrix}\\\Rightarrow\ a&=1,b=-3\ \therefore\ P_1(\bf1,-3)\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\overrightarrow{QP_2}=\vec{p_2}-\vec{q}\\\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a-4\\b-1\end{pmatrix}\\\Rightarrow\ a&=7,b=5\ \therefore P_2(\bf7,5)\end{aligned}[/tex]
Kita memperoleh hasil yang sama.
Persamaan lingkaran yang memenuhi pernyataan pada soal adalah:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}\bullet\ &(x-1)^2+(y+3)^2=5^2\\\bullet\ &(x-7)^2+(y-5)^2=5^2\\\end{aligned}$}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
[answer.2.content]
